Este blog está dedicado a la divulgación científica en toda su extensión, tratándose en el la matemática, la astronomía, la física, la química, la biología y la geología, así como las ciencias sociales como la psicología, la economía, la historia y las de la organización; por medio de temas semanales que pretenden ir destapando a quien los lea las distintas partes de la ciencia.

22/11/09

Ejemplos de inducción

Lo prometido es deuda, así pondré unos pocos ejemplos de inducción que servirán de ayuda al lector para familiarizarse con el concepto. Estos ejercicios pueden parecer complicados al lector no familiarizado con operaciones algebraicas elementales, por ello pido que el lector se esfuerce por entenderlos dado que para ciertos ejemplos es fundamental ello, aunque pondré también ejemplos sin las fórmulas que tanto aterran a los que no están familiarizados con ellas.
(A la izquierda Giussepe Peano, cuya aritmética fundamentó axiomáticamente el método de la inducción.)
Ejemplo resuelto
Vamos a demostrar que la expresión:
es divisible por seis, para cualquier número natural mayor o igual que uno que pongamos en lugar de n. (Nota: el lector no familiarizado debe acostumbrase a que las letras se usan para operar con números desconocidos o representan a un número que va a tomar varios valores, como es el caso.)
Si hacemos n=1, obtenemos seis que claramente es divisible por seis. de este modo planteemos nuestra hipótesis de inducción considerando que se cumple para n, analicemos el caso para el número n+1, obtenemos entonces que:
Si miramos la expresión, se ve que el primer sumando por nuestra hipótesis de inducción es múltiplo de seis, ahora el segundo sumando se ve que es múltiplo de 3, ahora si demostramos que es también múltiplo de dos entonces es múltiplo de seis. Al mirarlo se ve que si n es un número par, entonces la expresión es par, y así múltiplo de dos también, si n es un número impar, tenemos la suma de dos impares que es par más un par, obteniendo un par que es múltiplo de dos, así el segundo sumando es múltiplo de seis.
Así hemos demostrados que si la expresión es múltiplo de seis para un número, lo será para el siguiente. Y por inducción como es se cumple para uno, se cumple para todos los números naturales mayores o iguales que uno. (Como para uno es múltiplo de seis, lo será para dos, como lo es para dos, lo será para tres, y así hasta el infinito.)
Otros ejemplos para el lector
Yo he resuelto un ejercicio, ahora pongo al lector unos ejercicios para que los resuelva él, o busque su resolución por su cuenta si necesita más ejemplos para ver cómo funciona el método.
-Problema 1
Demostrar que la suma de los n primeros números naturales es igual a la suma del último y el primero multiplicada por el número de números sumados y dividido entre dos.
-Problema 2
Demostrar que la suma de los cubos de los n primeros números naturales es igual al cuadrado de la suma de los n primeros números naturales.
-Problema 3
Cada persona en el mundo ha dado cierta cantidad de apretones de manos. Demostrar que el número de personas que han dado un número impar de apretones de manos es par.
Un final inductivo
El autor del blog si escribe un cierto número de artículos deberá escribir uno más, dado que cada vez que se explican y divulgan más cosas más cosas han de explicarse y divulgarse, y dado que el autor ha escrito un artículo, el autor escribirá artículos ad infinitum (hasta que se muera). Espero que hayan disfrutado de la inducción matemática.

Tabla Periódica